Vitesse

Vitesse moyenne

Soit \(TM\in S/R_{0}\) la trajectoire d'un point \(M\) par rapport à un révérenciel \(R_0\) nous définissons :

  • Une origine \(M_0\)

  • un sens qui est celui du mouvement

  • Une unité de longueur

Les différentes positions du point M sont repérées par leur abscisse curviligne \(s(t)\)

Instants

t0

t1

t2

Positions sur

\(TM\in S/R_{0}\)

M0

M1

M2

Abscisse curviligne s=f(t)

s0=0

s1=M0M1

s2=M0M2

Vitesse avion

La valeur algébrique de l'arc orienté M0M à l'instant s'écrit :

\(\bar{s}=arcM_{0}M\)

Définition

On peut alors définir la vitesse algébrique moyenne entre t1 et t2 :

\[v\left(t_{1}\rightarrow t_{2}\right)=\frac{s_{2}-s_{1}}{t_{2}-t_{1}}=\frac{\bigtriangleup s}{\bigtriangleup t}\]

Et cela s'énonce de la manière suivante :

La vitesse moyenne algébrique est le quotient de la variation de l'arc sur la variation de temps

Vitesse instantanée

Si \(t_2\) est très proche de \(t_1\), alors \(\Delta t\) devient infiniment petit et on obtient la vitesse instantanée qui est la dérivée de l'abscisse curviligne par rapport au temps.

\[v\left(t\right)=\frac{ds}{dt}\]

DéfinitionVecteur vitesse

Le vecteur vitesse du point \(M\) dans son mouvement par rapport au repère fixe \(R_0\), est égal à la dérivée vectorielle par rapport au temps du vecteur position, dans le repère \(R_0\).

\[\overrightarrow{VM\in S/R_{0}}=lim_{\varDelta t\rightarrow0}\frac{\overrightarrow{M_{1}M_{2}}}{\varDelta t}\]

Le vecteur vitesse est donc égale à :

\[\overrightarrow{VM\in S/R_{0}}={\frac{\overrightarrow{dOM}}{dt}}_{/R_{0}}\]

Le vecteur vitesse est tel que :

  • Son origine : est confondue avec la position de M à l'instant t

  • Sa direction : est tangente en M à la trajectoire \(TM\in S/R_{0}\)

  • Son sens : est orienté dans le sens du mouvement

  • Sa norme est : \(\left\Vert \overrightarrow{VM\in S/R_{0}}\right\Vert =\left|v\right|=\left|\frac{ds}{dt}\right|\) avec son unité en \((m.s^{-1})\)