Travail d'un fluide en évolution lente

Nous avons vu que lorsque le fluide évolue lentement, le travail effectué par un système fermé est quantifiable en effectuant l'intégrale :

\[w_{A\rightarrow B}=-\displaystyle \int_{A}^{B}{p} . \, \mathrm{d}{v}\]

Avec un système ouvert, l'expression est un peu différente. Pour la développer, nous nous proposons d'étudier la compression en continu d'un fluide qui traverse un compresseur.

Pour cela, observons tout d'abord la transformation d'une quantité de masse Vxe mA circulant dans le compresseur (Vgure 3.4). En passant entre les pales en mouvement, sa pression varie de dp et son volume de dv. Il s'agit simplement d'un système fermé qui se déplace : comme le Wuide évolue très lentement (évolution réversible), le travail \(\delta w_{mA}\) reçu par le système sera pendant une évolution réversible

\[\delta w_{mA}=-pdv\]

Maintenant, observons le déroulement de ce même phénomène du point de vue d'un système ouvert. Quelle puissance spécifique\(\delta w_{S.0}\). faut-il donner au compresseur pour que chaque particule de fluide reçoive un travail \(\delta w_{mA}\)

Compresseur

Une quantité de masse fixe \(m_A\) circule de gauche à droite à travers un compresseur. Elle est comprimée, ses propriétés passent de \(p\) et \(v\) à \(p + dp\) et \(v + dv.\) Si on se place du point de vue d'un système fermé en transit, le transfert de travail est \(\delta w_{mA}=−p dv\).

Ci-dessous le même écoulement qu'a la figure précédente observé du point de vue d'un système ouvert immobile traversé de gauche à droite par un flux continu. Nous cherchons à quantifier le travail \(\delta w_{S.0.}\) à fournir au système pour que chaque quantité de masse \(m_A\) reçoive un travail \(\delta w_{mA}\).

Le système ouvert a, lui, quatre transferts sous forme de travail

La puissance spécifique d'insertion \(w_{insertion}\) est due à l'arrivée permanente du fluide à l'entrée du système. On a, du point de vue du système ouvert :

\[w_{insertion}=+pv\]

La puissance spécifique de compression \(−\delta w_{mA}\) est le travail spécifique que le système ouvert doit transférer à chaque quantité de masse \(m_A\) pour qu'elle soit effectivement comprimée :

\[-\delta w_{mA}=-(-pdv)\]

La puissance spécifique d'extraction \(w_{extraction}\) est dépensée par le système ouvert pour faire sortir continûment le fluide. À la sortie, les propriétés du fluide sont devenues \(p + dp\) pour la pression, et \(v + dv\) pour le volume. On a ainsi :

\[w_{extraction}=-(p+dp)(v+dv)\]

La puissance spécifique reçue de l'extérieur \(\delta w_{S.O.}\) est la puissance qui alimente la compression : c'est la grandeur que nous souhaitons quantifier.

Comme précédemment la somme de ces quatre puissances s'annulent :

\[\delta w_{S.O.}+w_{insertion}+(-\delta w_{mA})+w_{extraction}=0\]

On peut donc quantifier la puissance spécifique \(\delta w_{S.0.}\) qu'il faut donner au compresseur:

\[\delta w_{S.O.}=-w_{insertion}+\delta w_{mA}-w_{extraction}\\ \delta w_{S.O.}=-pv+(-pdv)+(p+dp)(v+dv)\\ =-pv-pdv+pv+pdv+dp v+dp dv\\ =dp v+dp dv\]

Et comme le multiple \(dp × dv\) tend vers zéro lorsque nous utilisons des quantités infinitésimales, nous obtenons l'expression :

\[\delta w_{S.O.}=vdp\]

Les termes \(dp\) et \(dv\) dans notre étude ne sont pas nécessairement positifs. Cette expression s'applique aussi bien dans les détentes que dans les compressions, tant qu'elles sont réversibles.

Et en intégrant cette expression on obtient :

\[w_{S.O}=\intop vdp\\ \dot{W}_{A\rightarrow B}=\dot{m}\int_A^B vdp\]

Lors d'un écoulement en régime continu, lorsque l'évolution est réversible et quel que soit l'apport de chaleur

Ainsi, lorsque nous voulons quantifier le travail réversible dans un système ouvert, c'est l'intégrale \(+\intop vdp\) et non pas \(-\intop vdp\) , qu'il nous faut calculer.

Sur un diagramme pression-volume, nous pouvons visualiser ce travail en ajoutant le travail d'insertion et le travail d'extraction au travail de compression.

Travail reçu par un système ouvert traversé par un fluide, pendant une évolution lente. Le système reçoit d'abord le travail d'insertion (\(p_{ini}.{vini}\)., en orange, positif) pour pénétrer dans le système, puis il dépense un travail de compression (aire hachurée, négative), et enfin il dépense le travail d'extraction (\(p_{fin},v_{fin}\) en bleu, négative). La somme nette de ces trois aires est la puissance spécifique à fournir au système ouvert

Un travail réversible effectué en régime continu se visualise donc par l'aire incluse à gauche de la courbe.

Travail mesuré dans un système ouvert, pendant une évolution réversible. L'intégrale de \(v dp\) est visualisée par l'aire à gauche de la courbe. Si le fluide revient à son état initial (ayant effectué un cycle), le travail développé est visualisé par l'aire incluse dans la courbe. Dans ce cas, la quantification est identique en système fermé et ouvert.